iCharger - портативное зарядное устройство

iCharger - портативное зарядное устройство

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Механические и электромагнитные колебания Звуковые волны Дифракция света Понятие о голографии

Лекции и задачи по физике Колебания и волны, оптическая и ядерная физика

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6);

 (142.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (w0t + j) с циклической частотой

  (142.2)

и периодом

  (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

  (142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, Ft= –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

  (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

  (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом

  (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

 (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

  (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

 Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня).

 На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.

035.gif

 Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания.

Сила сжатия F = -kx ,

где k - коэффициент жесткости пружины.

 Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

038.gif

кинетическая

040.gif.

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии.

 Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы.

В данном случае :

042.gif.

В положении б)

044.gif:

046.gif.

 Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

048.gif.


Определим отсюда скорость:

050.gif


Но в свою очередь

052.gif

и, следовательно,

054.gif.

Разделим переменные

056.gif.

Интегрируя это выражение, получим:

058.gif,

где060.gif- постоянная интегрирования.

Из последнего следует, что

062.gif

(7.2)

Сравнивая (7.1) с (7.2), получаем

064.gif

(7.3)

 Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания.

 Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими.

 Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания.

 При этом:

смещение:

066.gif

скорость:

068.gif

ускорение:

070.gif

Контрольная работа для студентов заочной формы обучения. Контрольная работа включает девять задач. Определение варианта задания производится по специальной таблице в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки студента. Например, если последняя цифра номера зачетной книжки студента "7", то в каждой контрольной работе студент решает задачи с семёркой на конце: 7,17,27,37,47,57,67,77,87. При выполнении контрольных работ необходимо выполнять следующие правила: 1. На титульном листе указывать номер контрольной работы, наименование дисциплины, фамилию и инициалы студента, шифр и домашний адрес. 2. Контрольную работу следует выполнять аккуратно, оставляя поля для замечаний рецензента. 3. Задачи своего варианта переписывать полностью и делать краткую запись условий задачи. Числовые значения всех физических величин, взятых из условия задачи или из таблиц, представлять в системе "СИ".
Лекции и задачи по физике