Механические и электромагнитные колебания Звуковые волны Дифракция света Понятие о голографии

Лекции и задачи по физике Колебания и волны, оптическая и ядерная физика

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6);

 (142.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А соs (w0t + j) с циклической частотой

  (142.2)

и периодом

  (142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

  (142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, Ft= –mg sina » –mga. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina »a соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

  (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

  (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом

  (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

 (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

  (142.9)

Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

 Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня).

 На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.

035.gif

 Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания.

Сила сжатия F = -kx ,

где k - коэффициент жесткости пружины.

 Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

038.gif

кинетическая

040.gif.

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии.

 Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы.

В данном случае :

042.gif.

В положении б)

044.gif:

046.gif.

 Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

048.gif.


Определим отсюда скорость:

050.gif


Но в свою очередь

052.gif

и, следовательно,

054.gif.

Разделим переменные

056.gif.

Интегрируя это выражение, получим:

058.gif,

где060.gif- постоянная интегрирования.

Из последнего следует, что

062.gif

(7.2)

Сравнивая (7.1) с (7.2), получаем

064.gif

(7.3)

 Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания.

 Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими.

 Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания.

 При этом:

смещение:

066.gif

скорость:

068.gif

ускорение:

070.gif

Контрольная работа для студентов заочной формы обучения. Контрольная работа включает девять задач. Определение варианта задания производится по специальной таблице в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки студента. Например, если последняя цифра номера зачетной книжки студента "7", то в каждой контрольной работе студент решает задачи с семёркой на конце: 7,17,27,37,47,57,67,77,87. При выполнении контрольных работ необходимо выполнять следующие правила: 1. На титульном листе указывать номер контрольной работы, наименование дисциплины, фамилию и инициалы студента, шифр и домашний адрес. 2. Контрольную работу следует выполнять аккуратно, оставляя поля для замечаний рецензента. 3. Задачи своего варианта переписывать полностью и делать краткую запись условий задачи. Числовые значения всех физических величин, взятых из условия задачи или из таблиц, представлять в системе "СИ".
Лекции и задачи по физике